Convivir con la naturaleza (foto de Jaime Cristóbal López)

viernes, 19 de octubre de 2012

Los números primos. La fascinación de los matemáticos



Este artículo, elaborado por Alfonso Ramón Bagur, trata uno de los temas más importantes de la teoría de números y el cual ha sido de gran interés por muchos matemáticos a lo largo de la historia: los números primos. 

Para muchos alumnos, hablar de estos números es en sí ya muy complicado, no se diga cuando se trata de operar con ellos; no obstante forman parte importante dentro de muchos de los contenidos matemáticos, sobre todo los pertenecientes a la rama de la aritmética, por lo que su estudio es ineludible. 

Es por ello que me parece importante dar cuenta a los estudiantes de la necesidad de conocer lo suficiente sobre los números primos, tarea que solo se puede lograr si el maestro es capaz de abordar de una forma interesante además de comprensible, este contenido. 

De esta forma, en el breve artículo leído, el autor explica de una manera bastante clara, así como llamativa, algunas generalidades sobre los números primos, comenzando por su definición y algunos ejemplos. Para señalar la importancia que tienen dentro de la teoría de números, los relaciona con el teorema fundamental de la aritmética, en donde muestra una diferenciación entre los números primos y compuestos. 

Una vez revisados los conceptos básicos respecto a los primos, retoma las aportaciones que hicieron en este campo cuatro importantes matemáticos: Euclides, Eratóstenes, Mersenne y Fermat. Del primero menciona de manera sencilla cómo demostró que el conjunto de los números primos es infinito, siendo uno de los primeros matemáticos en preocuparse por el estudio de este conjunto de números. 

Luego continúa hablando sobre el trabajo realizado por Mersenne, quien desarrolló una fórmula (Mp=2n-1), con la que le fue posible encontrar algunos números primos que llevaron su nombre. Lo destacable de este matemático es que realizó cálculos bastante extensos, siendo que en esa época el ábaco era el único instrumento auxiliar en las operaciones. Para dar una idea de la complejidad para hallar primos de Mersenne, como dato curioso el autor menciona que el más grande que se conoce tiene una extensión de 13 millones de cifras. 

Uno de los problemas centrales que rodea a los números primos, además de buscar una forma de obtenerlos, es si existe algún algoritmo para saber si un número es primo o no lo es. Siguiendo con el artículo, se aborda un sencillo algoritmo que permite identificar cuándo un número es primo y cuándo no, que consiste en sacar la raíz de éste, y luego dividirlo por todos los factores primo menores a él. 

Pero es evidente que a medida que se trabaja con números más grandes, el algoritmo se complica más, teniendo que recurrir a computadoras muy sofisticadas para hacerlo. Es en ese momento donde entra en escena Fermat y su pequeño teorema aP=R, en el que si al realizar , se obtiene un entero, es muy factible que p, sea un número primo. La importancia de esta fórmula no es si permite obtener primos, pues no siempre se cumple. En lo que si ayuda es en identificar que números no son primos, ya que si el cociente no resulta entero, entonces se puede estar seguro de que el número no es primo. 

Los números primos se comienzan a ver desde primaria, pero se refuerzan durante el nivel secundaria; intentar enseñar a los estudiantes lo referente a los números primos mediante los procedimientos antes mencionados podría ser complicado para ellos e incluso difícil de entender. Es por eso que el primer acercamiento a este conjunto debe ser de una forma más sencilla y llamativa. Es aquí donde toma lugar Eratóstenes. 

Este matemático más allá de proponer fórmulas o desarrollar teoremas, inventó un método bastante entendible para obtener los primeros números primos, mismo que se utiliza actualmente en la mayoría de los libros de texto de secundaria. Este proceso consiste en hacer una lista con los primeros n naturales, a partir de allí, se van ubicando los primeros números que se encuentren, comenzando por el 2, y se tachan todos sus múltiplos hasta llegar a n. Luego se busca el siguiente número sin tachar, eliminando nuevamente todos los múltiplos de éste, y así sucesivamente. Al final tendremos sin tachar todos los números primos contenidos en el conjunto n inicial. 

Este método para encontrar primos es probablemente el más difundido por su claridad y sencillez, además de que para cálculos ordinarios no es necesario manipular números primos demasiado extensos, de allí la importancia que tiene la criba de Eratóstenes, como se le conoce a este proceso, al trabajar los números primos. 

Parte importante de que los alumnos tomen interés por aprender un contenido de matemáticas se encuentra en el hecho de encontrarle utilidad, para ello, al final del artículo se menciona el porqué de la importancia de estudiar los números primos. Actualmente se utilizan para probar la velocidad de las computadoras y como un elemento de estudio para los interesados en las matemáticas; pero sabes que su principal uso es para realizar otras operaciones como son calcular el mínimo común denominador en una suma de fracciones, buscar múltiplos y submúltiplos, además para factorizar números. 

Así pues, en la medida que los alumnos entiendan la utilidad que tiene el conocer sobre este conjunto de los naturales, les será más fácil estudiarlo pues tendrán toda la disposición por hacerlo; mientras que nuestro rol como maestros es dominar este contenido para buscar la forma más adecuada para mostrarlo a los adolescentes.

1 comentario: